Archivi autore: Luca M

Ellisse: dimostrazione geometrica dell’equivalenza delle sue due definizioni

“Ogni volta che cerco di approfondire la teoria della gravitazione di Newton mi imbatto, prima o poi, nell’ellisse e nelle sue proprietà geometriche.
Dopo diversi anni sono sempre più convinto che raggiungere una migliore comprensione dell’ellisse e delle sue numerose proprietà geometriche, anche le più sottili e nascoste, sia un passaggio fondamentale per capire più a fondo le teorie fisiche e matematiche in cui essa compare.

La definizione geometrica dell’ellisse può essere formulata tramite due definizioni alternative ma equivalenti…

Ellipse construction from focus-directrix[vai alla pagina]

Onde gravitazionali

Nel 1916, appena dopo la formulazione delle equazioni di campo della teoria della relatività generale, Einstein predisse l’esistenza di onde gravitazionali.

Oggi, 11 febbraio 2016, è stata annunciata la prima prova sperimentale dell’esistenza di queste onde e i dettagli sono stati pubblicati dalla rivista americana Physical Review Letters.

Il file pdf dell’articolo (in inglese) può essere scaricato qui
Riportiamo il sommario introduttivo dell’articolo.

Phys. Rev. Lett. 116, 061102 – Published 11 February 2016

Abstract

Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger

On September 14, 2015 at 09:50:45 UTC the two detectors of the Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory simultaneously observed a transient gravitational-wave signal. The signal sweeps upwards in frequency from 35 to 250 Hz with a peak gravitational-wave strain of 1.0 \times {10^{ - 21}}. It matches the waveform predicted by general relativity for the inspiral and merger of a pair of black holes and the ringdown of the resulting single black hole. The signal was observed with a matched-filter signal-to-noise ratio of 24 and a false alarm rate estimated to be less than 1 event per 203 000 years, equivalent to a significance greater than 5.1σ. The source lies at a luminosity distance of 410_{ - 180}^{ + 160} Mpc corresponding to a redshift z=0.09_{ - 0.04}^{ + 0.03}. In the source frame, the initial black hole masses are 36_{ - 4}^{ + 5}M⊙ and 29_{-4}^{+4}M⊙, and the final black hole mass is 62_{-4}^{+4}M⊙, with 3.0_{-0.5}^{+0.5}M⊙{c^2} radiated in gravitational waves. All uncertainties define 90% credible intervals. These observations demonstrate the existence of binary stellar-mass black hole systems. This is the first direct detection of gravitational waves and the first observation of a binary black hole merger.

Segnalazioni di siti interessanti

A volte si scoprono, per puro caso, siti davvero ricchi e interessanti, costruiti con passione e puro interesse conoscitivo.

Ecco alcune segnalazioni:


http://www.bitman.name/home/ sito di Mauro Fiorentini dedicato a una raccolta molto completa di informazioni (con relativa classificazione)  su numeri, funzioni, polinomi e congetture.

Dalla sezione Matematica del sito:

Questa sezione è dedicata a coloro che amano i numeri e cercano informazioni su essi, magari per semplice curiosità, o (ne sarei stupito, ma felice) per necessità professionale.
Ho qui raccolto appunti, lentamente accumulati negli anni, su una mia vecchia passione: i numeri, che meritano, e in molti casi hanno, un nome, individuale o come gruppo. Il titolo potrebbe benissimo essere: “Anche i numeri hanno un nome”.


 

 

Le verità del “phishing”

Una storia vera…

Questo è il testo di un messaggio email recentemente ricevuto:


Gentile cliente,

A causa dei numerosi tentativi di frode subiti dai nostri clienti nelle ultime 24 ore,
la invitiamo a verificare l’integrità del suo conto cliccando immediatamente sul link sotto riportato.

https://www.***********/cliente/verifica.aspx

Indirizzo Email Cliente : ****@****.it

Ci scusiamo per il disagio.

Banco Popolare S.p.A.


Ma Banco Popolare S.p.A. non è la mia banca!

In effetti non hanno esplicitamente detto questo ma hanno detto il vero relativamente ai numerosi tentativi di frode subiti da utenti email nell’ultimo periodo…

C’è una forma di verità in un mentitore che afferma “Io sono un mentitore”….

Allo stesso modo c’è una forma di verità in un messaggio di phishing che inizia dicendo “dato che stai ricevendo numerosi messaggi di phishing…

Un modello predittivo per l’interazione tra pedoni

Una simulazione interattiva creata con il software Wolfram Mathematica, che propone un modello predittivo per l’interazione tra pedoni è disponibile in questa pagina della sezione  dimostrazioni CDF.

Un video dimostrativo di tale simulazione è pubblicato su youtube:

Il modello matematico utilizzato per costruire la simulazione è basato sulla teoria esposta nell’articolo:

A universal power law governing pedestrian interactions
di
Ioannis Karamouzas, Brian Skinner, e Stephen J. Guy
pubblicato il 2 Dicembre 2014 nella rivista Physical Review Letters

L’articolo (in inglese) ed altro materiale informativo è anche disponibile in questa pagina della Applied Motion Lab, University of Minnesota.

La principale caratteristica di questo modello risiede nel fatto che la forza di interazione tre i pedoni non dipende tanto dalla loro distanza (come avverrebbe, ad esempio, per un insieme di elettroni) ma piuttosto dal loro tempo di collisione, ovvero dall’intervallo di tempo che li separa, se proseguissero nella loro traiettoria alla loro attuale velocità, dal loro eventuale impatto.

Pertanto in questo modello non si vedranno pedoni a distanza ravvicinata necessariamente respingersi l’un l’altro, a meno che le loro traiettorie non siano tali da far prevedere una loro futura collisione nei successivi secondi.
Questa semplice regola permette quindi a due pedoni (non prossimi alla collisione) di camminare indisturbati fianco a fianco, come avviene nel mondo reale.
Ma se le loro traiettorie spazio-temporali dovessero intersecarsi i pedoni cercheranno di modificare il loro moto (in direzione e/o velocità) per evitare la futura imminente collisione.
Si veda questa pagina contenente la simulazione interattiva CDF per ulteriori dettagli.

Il problema del lancio di dadi con una data somma

Qualche esercizio di calcolo combinatorio può proporre domande del tipo: “se si lanciano due dadi qual’è la la probabilità che la somma dei numeri delle due facce sia 9?”
La risposta non è particolarmente difficile se si enumerano i casi che soddisfano il particolare evento richiesto (somma=9), dividendo poi tale numero di “eventi favorevoli” per il numero dei “casi possibili“.
Ma come affrontare lo stesso tipo di problema se si vuole calcolare la probabilità, ad esempio, di ottenere la somma 31 lanciando 10 dadi? In questo caso il conteggio dei casi favorevoli per enumerazione richiederebbe un tempo davvero molto lungo!
In casi come quest’ultimo è possibile ricavare una formula generale che fornisca la probabilità di avere una qualsiasi somma (p) lanciando un qualsiasi numero (n) di dadi?

Leggi l’articolo completo…

Pioggia

A volte la matematica può essere totalmente inutile, ma sorprendentemente semplice e bella

Un altro esempio è la seguente animazione, che è stata generata in Wolfram Mathematica tramite un codice davvero molto breve (solo 221 caratteri di lunghezza):

Animate[With[{r := RandomReal[]}, 
  Graphics[BlockRandom[
    Table[With[{z = r}, {, GrayLevel[2 (t - z)], 
       Thickness[0.03 (0.20 - t + z)], 
       Circle[{1.7 r, 0.82 r}, Max[0, t - z]]}], {k, 1, 45}]], 
   PlotRange -> {{0, 1.7}, {0, 0.82}}]],
{t, 0, 1}, DefaultDuration -> 20]

Troppo per poter essere inviata al twitter @wolframtap (Wolfram Tweet-a-Program). Ma abbastanza breve da mostrare come alcune semplici idee matematiche possono essere davvero molto semplici e belle (anche se, forse, inutili). Ecco il video inviato a youtube:

Una “specie” di torre Eiffel (quando la matematica è inutile ma bella)

A volte la matematica può essere totalmente inutile, ma sorprendentemente semplice e bella.
Un possibile esempio di questa idea è la seguente immagine, che si può generare, in Wolfram Mathematica, con un codice di lunghezza inferiore a quello di un twit (123 caratteri):

Graphics3D[Table[Rotate[Cuboid[{-0.9^k, -0.9^k, (1/20)*k}, 
{0.9^k, 0.9^k, (1/20)*(k + 1)}], k*0.1, {0, 0, 1}], {k, 0, 60}]]

EiffelQuesto mini-programma è stato anche pubblicato nel twitter @wolframtap (Wolfram Tweet-a-Program).

QUI il collegamento al twit.

Un altro interessante aspetto relativo al fantasioso e stravagante edificio rappresentato nell’immagine è il fatto che, malgrado esso possa avere un’altezza infinita, avrà comunque un volume finito.

In questa pagina è presentata una versione un poco più estesa del programma, con una dimostrazione interattiva in cui è possibile modificare l’angolo tra parallelepipedi consecutivi.

(Grazie a BV per avermi suggerito questa idea)

Propagazione delle onde nello spazio e nel tempo

Non è facile comprendere gli aspetti matematici del moto di un’onda.
Il fatto è che un’onda è una perturbazione (in un mezzo) che cambia nello spazio e nel tempo.
Quindi, anche nel più semplice dei casi (ad esempio quello di un’onda che si propaga in un mezzo a 1 dimensione, come una corda) ci sono almeno 3 variabili coinvolte: il grado di perturbazione del mezzo, la posizione e il tempo.

Per capire meglio le relazioni tra queste variabili e i parametri dell’onda ho pensato di creare, con il programma Wolfram Mathematica una dimostrazione interattiva sulle onde.
La dimostrazione è stata esportata nel formato .cdf in modo da poter essere utilizzata con il programma gratuito CDF Player (si veda la pagina “Come utilizzare le dimostrazioni CDF” per informazioni sull’installazione).

La dimostrazione CDF (con ulteriori spiegazioni) è disponibile in questa pagina.

Nella simulazione sono mostrati 4 diversi grafici:

• L’onda che si propaga nella direzione x
• Il profilo temporale dell’onda in una posizione predefinita x_0
• Il profilo spaziale dell’onda, catturato in istanti particolari (evidenziati dall’effetto “flash“)
• La vista 3D, che unisce la variabile spaziale e quella temporale e in cui è anche visualizzato un punto mobile che rappresenta lo stato della perturbazione (direzione verticale) nella posizione x_0 al passare del tempo e la sua traiettoria spazio-temporale.

Nella dimostrazione è possibile modificare i parametri dell’onda e vedere i relativi cambiamenti nella sua evoluzione spazio-temporale.
Chi non ha installato il CDF Player sul proprio PC (o chi accede a questo sito tramite smartphone/tablet iOS/Android) può avere un’idea della simulazione tramite questo breve video dimostrativo: