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Onde gravitazionali

Nel 1916, appena dopo la formulazione delle equazioni di campo della teoria della relatività generale, Einstein predisse l’esistenza di onde gravitazionali.

Oggi, 11 febbraio 2016, è stata annunciata la prima prova sperimentale dell’esistenza di queste onde e i dettagli sono stati pubblicati dalla rivista americana Physical Review Letters.

Il file pdf dell’articolo (in inglese) può essere scaricato qui
Riportiamo il sommario introduttivo dell’articolo.

Phys. Rev. Lett. 116, 061102 – Published 11 February 2016

Abstract

Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger

On September 14, 2015 at 09:50:45 UTC the two detectors of the Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory simultaneously observed a transient gravitational-wave signal. The signal sweeps upwards in frequency from 35 to 250 Hz with a peak gravitational-wave strain of $1.0 \times {10^{ - 21}}$ . It matches the waveform predicted by general relativity for the inspiral and merger of a pair of black holes and the ringdown of the resulting single black hole. The signal was observed with a matched-filter signal-to-noise ratio of 24 and a false alarm rate estimated to be less than 1 event per 203 000 years, equivalent to a significance greater than 5.1σ. The source lies at a luminosity distance of $410_{ - 180}^{ + 160}$ Mpc corresponding to a redshift $z=0.09_{ - 0.04}^{ + 0.03}$ . In the source frame, the initial black hole masses are $36_{ - 4}^{ + 5}$ M⊙ and $29_{-4}^{+4}$ M⊙, and the final black hole mass is $62_{-4}^{+4}$ M⊙, with $3.0_{-0.5}^{+0.5}$ M⊙ ${c^2}$ radiated in gravitational waves. All uncertainties define 90% credible intervals. These observations demonstrate the existence of binary stellar-mass black hole systems. This is the first direct detection of gravitational waves and the first observation of a binary black hole merger.

Un modello predittivo per l’interazione tra pedoni

Una simulazione interattiva creata con il software Wolfram Mathematica, che propone un modello predittivo per l’interazione tra pedoni è disponibile in questa pagina della sezione dimostrazioni CDF.

Un video dimostrativo di tale simulazione è pubblicato su youtube:

Il modello matematico utilizzato per costruire la simulazione è basato sulla teoria esposta nell’articolo:

A universal power law governing pedestrian interactions
di Ioannis Karamouzas, Brian Skinner, e Stephen J. Guy
pubblicato il 2 Dicembre 2014 nella rivista Physical Review Letters

L’articolo (in inglese) ed altro materiale informativo è anche disponibile in questa pagina della Applied Motion Lab, University of Minnesota.

La principale caratteristica di questo modello risiede nel fatto che la forza di interazione tre i pedoni non dipende tanto dalla loro distanza (come avverrebbe, ad esempio, per un insieme di elettroni) ma piuttosto dal loro tempo di collisione, ovvero dall’intervallo di tempo che li separa, se proseguissero nella loro traiettoria alla loro attuale velocità, dal loro eventuale impatto.

Pertanto in questo modello non si vedranno pedoni a distanza ravvicinata necessariamente respingersi l’un l’altro, a meno che le loro traiettorie non siano tali da far prevedere una loro futura collisione nei successivi secondi.
Questa semplice regola permette quindi a due pedoni (non prossimi alla collisione) di camminare indisturbati fianco a fianco, come avviene nel mondo reale.
Ma se le loro traiettorie spazio-temporali dovessero intersecarsi i pedoni cercheranno di modificare il loro moto (in direzione e/o velocità) per evitare la futura imminente collisione.
Si veda questa pagina contenente la simulazione interattiva CDF per ulteriori dettagli.

Pioggia

A volte la matematica può essere totalmente inutile, ma sorprendentemente semplice e bella…

Un altro esempio è la seguente animazione, che è stata generata in Wolfram Mathematica tramite un codice davvero molto breve (solo 221 caratteri di lunghezza):

Animate[With[{r := RandomReal[]}, 
  Graphics[BlockRandom[
    Table[With[{z = r}, {, GrayLevel[2 (t - z)], 
       Thickness[0.03 (0.20 - t + z)], 
       Circle[{1.7 r, 0.82 r}, Max[0, t - z]]}], {k, 1, 45}]], 
   PlotRange -> {{0, 1.7}, {0, 0.82}}]],
{t, 0, 1}, DefaultDuration -> 20]

Troppo per poter essere inviata al twitter @wolframtap (Wolfram Tweet-a-Program). Ma abbastanza breve da mostrare come alcune semplici idee matematiche possono essere davvero molto semplici e belle (anche se, forse, inutili). Ecco il video inviato a youtube:

Propagazione delle onde nello spazio e nel tempo

Non è facile comprendere gli aspetti matematici del moto di un’onda.
Il fatto è che un’onda è una perturbazione (in un mezzo) che cambia nello spazio e nel tempo.
Quindi, anche nel più semplice dei casi (ad esempio quello di un’onda che si propaga in un mezzo a 1 dimensione, come una corda) ci sono almeno 3 variabili coinvolte: il grado di perturbazione del mezzo, la posizione e il tempo.

Per capire meglio le relazioni tra queste variabili e i parametri dell’onda ho pensato di creare, con il programma Wolfram Mathematica una dimostrazione interattiva sulle onde.
La dimostrazione è stata esportata nel formato .cdf in modo da poter essere utilizzata con il programma gratuito CDF Player (si veda la pagina “Come utilizzare le dimostrazioni CDF” per informazioni sull’installazione).

La dimostrazione CDF (con ulteriori spiegazioni) è disponibile in questa pagina.

Nella simulazione sono mostrati 4 diversi grafici:

• L’onda che si propaga nella direzione $x$
• Il profilo temporale dell’onda in una posizione predefinita $x_0$
• Il profilo spaziale dell’onda, catturato in istanti particolari (evidenziati dall’effetto “flash“)
• La vista 3D, che unisce la variabile spaziale e quella temporale e in cui è anche visualizzato un punto mobile che rappresenta lo stato della perturbazione (direzione verticale) nella posizione $x_0$ al passare del tempo e la sua traiettoria spazio-temporale.

Nella dimostrazione è possibile modificare i parametri dell’onda e vedere i relativi cambiamenti nella sua evoluzione spazio-temporale.
Chi non ha installato il CDF Player sul proprio PC (o chi accede a questo sito tramite smartphone/tablet iOS/Android) può avere un’idea della simulazione tramite questo breve video dimostrativo:

The early universe as seen by the ESA’s Planck space telescope

The anisotropies of the Cosmic microwave background (CMB) as observed by Planck. The CMB is a snapshot of the oldest light in our Universe, imprinted on the sky when the Universe was just 380 000 years old. It shows tiny temperature fluctuations that correspond to regions of slightly different densities, representing the seeds of all future structure: the stars and galaxies of today.
(Credits: ESA and the Planck Collaboration)

More info… (link to the ESA’s Planck project website)

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