Intersezione di un toro con un piano (simulazione con Geogebra)

Questo applet di Geogebra applet serve a esplorare la curva di intersezione tra un toro e un piano.

Il file può essere visualizzato nel portale dei materiali di Geogebra (https://ggbm.at/MmTVuXYk) o, meglio, scaricato come file “.ggb” (https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/Vp95FtPQ) ed eseguito localmente su PC. Il programma Geogebra Classico per desktop è scaricabile in questa pagina.

Il piano

Il piano può essere posizionato nello spazio tramite i parametri \alpha, \phi e \rho che definiscono la direzione e il modulo del vettore \vec u che parte dall’origine e arriva perpendicolarmente al piano.

\alpha è la direzione lungo il piano orizzontale xy (angolo azimutale), \phi è la direzione rispetto al piano orizzontale (angolo di elevazione) e \rho è il modulo (lunghezza) del vettore, o anche la distanza del piano dall’origine.

Le componenti del vettore sono quindi \vec u = \left( {\rho \cos \alpha \cos \phi ,\rho \sin \alpha \cos \phi ,\rho \sin \phi } \right).Queste sono anche le coordinate del punto Q, proiezione dell’origine O sul piano.

L’equazione cartesiana del piano è allora:
p:\,\,\,\left( {x - {x_Q}} \right)\cos \alpha \cos \phi + \left( {y - {y_Q}} \right)\sin \alpha \cos \phi + \left( {z - {z_Q}} \right)\rho \sin \phi = 0.

oppure, in alternativa, le sue equazioni in forma parametrica sono:

p:\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_Q} + t\sin \alpha - w\cos \alpha \sin \phi }\\ {y = {y_Q} - t\cos \alpha - w\sin \alpha \sin \phi }\\ {z = {z_Q} + w\cos \phi } \end{array}} \right.

Con le equazioni parametriche sopra riportate i parametri t e w possono essere interpretati come gli le coordinate dei punti del piano lungo una coppia di assi cartesiani ortogonali collocati nel piano stesso e aventi origine nel punto Q, dove t è l’asse orizzontale (parallelo al piano xy e w è l’asse a questo perpendicolare.

Il toro

La posizione del toro è fissa, con il suo centro di rotazione nell’origine e avente l’asse z come asse di rivoluzione. Comunque è possibile modificare, tramite slider, i suoi parametri R (raggio maggiore) e r (raggio minore).
Le equazioni parametriche della superficie torica sono:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \left( {R + r\cos v} \right)\cos u}\\ {y = \left( {R + r\cos v} \right)\sin u}\\ {z = r\sin u} \end{array}} \right.

e la sua equazione cartesiana è:

{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - R} \right)^2} + {z^2} = {r^2}

Le viste

Nlla finestra Grafici 3D (riquadro inferiore) è riportata la rappresentazione spaziale del toro, del piano e della loro curva di intersezione. Cliccando e trascinando il mouse in un’area vuota di questa vista si può modificare il punto di visuale.

Nella finestra Grafici (riquadro superiore a sinistra, quello con gli slider) è rappresentata la curva di intersezione collocata nel piano intersecante. Si noti che questa curva non cambia con modifiche dell’angolo \alpa dato che questo parametro non fa altro che ruotare il piano attorno all’asse di simmetria del toro.

Nella finestra Grafici 2 (riquadro superiore a destra) è riportata una rappresentazione della vista 3D proiettata sul piano xy. Le linee inclinate che vi appaiono sono un aiuto visivo per riuscire a immaginare come il piano intersecante p si sviluppa nella dimensione z, invisibile in questa vista. Esse sono:

  • intersezione del piano p con il piano z=0;
  • intersezioni del piano p con i piani z = \pm r (i piani orizzontali tangenti al toro superiormente e inferiormente);
  • intersezione del piano p con il piano z = {z_Q} ovvero la proiezione dell’asse t nel piano xy.

Referimenti

https://en.wikipedia.org/wiki/Torus
https://en.wikipedia.org/wiki/Toric_section

 

Ulltima modifica: 29 agosto 2017

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