L’integrale definito come somma di aree di rettangoli o trapezi

L’integrale definito

In questa simulazione, realizzata con Geogebra, sono esaminate alcune diverse costruzioni per calcolare, in modo approssimato, l’area di un trapezoide, suddividendolo in tanti rettangoli o trapezi.
I diversi metodi utilizzati (chiamati somme di Riemann) convergono al valore reale dell’area (calcolato tramite l’integrale definito) con l’aumentare del numero delle suddivisioni ( $n \to \infty$ e $\Delta x \to 0$ ).
Il valore esatto dell’area è dato dall’integrale definito:

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

dove $F\left( x \right)$ è una primitiva della funzione $f\left( x \right)$ .

Utilizzo dell’applet

Le caselle di controllo collocate a sinistra (Approximate integration rules) permettono di visualizzare l’area del trapezoide (nessuna selezione) o le diverse suddivisioni che possono essere fatte con rettangoli o trapezi.
Nel caso di suddivisioni in rettangoli è possibile scegliere il criterio con cui viene determinata l’altezza (ordinata relativa all’estremo di destra, di sinistra o al punto medio degli intervallini).

Gli estremi di integrazione $a$ e $b$ e il numero di suddivisioni $n$ possono essere modificati tramite i cursori posti in alto a sinistra.

Il valore “vero” dell’area e quello delle approssimazioni sono mostrati in basso a sinistra.

Il valore esatto dell’area può essere calcolato tramite la primitiva $Y=F(x)$ della funzione $f(x)$ dove $F'\left(x \right) =f\left( x \right)$ .

Infatti, utilizzando per la funzione $Y = F\left( x \right)$ la definizione di differenziale $\Delta Y = F'\left( x \right)\Delta x$ , si può dimostrare che

$\sum{f\left( x \right) }\Delta x=\sum{F'\left( x \right) }\Delta x=\sum{\Delta Y =F\left(b \right)-F\left(a \right) }$

Quindi, quando $\Delta x \to 0$ ,

$\sum{f\left( x \right) }\Delta x \to \int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx }=F\left(b \right) -F\left( a \right)$

Contrassegnando la casella di controllo “Show primitive function” si può visualizzare la funzione primitiva e verificare come il valore dell’area corrisponda alla differenza $F\left(b \right)-F\left(a \right)$ .
La primitiva è definita a meno di una costante additiva C (modificabile tramite cursore quando l’opzione “Show primitive function” è attivata).
Comunque il valore di $F\left(b \right)-F\left(a \right)$ , ovvero il valore dell’area, rimane immutato con il variare della costante C.

Nella simulazione sono già predefinite due funzioni alternative $f_1(x)$ e $f_2(x)$ .
Si può passare dalla prima alla seconda tramite la casella di controllo Alternative function $f_2(x)$ .
La funzione primaria $f_1(x)$ può essere modificata nella barra di input (in basso) inserendo una nuova definizione (ad esempio f(x) =x^3-cos(x)).

Il pulsante nell’angolo in alto a destra può essere utilizzato per ripristinare i settaggi predefiniti della simulazione.

Crediti: Christopher Stover. Questa simulazione è stata costruita con affinamenti e modifiche apportati al file originale “Rectangular and Trapezoidal Integral Approximations” (http://personal.bgsu.edu/~stoverc/Geogebra/geogebra4.html)

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