L’integrale definito come somma di aree di rettangoli o trapezi

L’integrale definito

In questa simulazione, realizzata con Geogebra, sono esaminate alcune diverse costruzioni per calcolare, in modo approssimato, l’area di un trapezoide, suddividendolo in tanti rettangoli o trapezi.
I diversi metodi utilizzati (chiamati somme di Riemann) convergono al valore reale dell’area (calcolato tramite l’integrale definito) con l’aumentare del numero delle suddivisioni (n \to \infty e \Delta x \to 0).
Il valore esatto dell’area è dato dall’integrale definito:

    \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\]

dove F\left( x \right) è una primitiva della funzione f\left( x \right).

Utilizzo dell’applet

Le caselle di controllo collocate a sinistra (Approximate integration rules) permettono di visualizzare l’area del trapezoide (nessuna selezione) o le diverse suddivisioni che possono essere fatte con rettangoli o trapezi.
Nel caso di suddivisioni in rettangoli è possibile scegliere il criterio con cui viene determinata l’altezza (ordinata relativa all’estremo di destra, di sinistra o al punto medio degli intervallini).

Gli estremi di integrazione a e b e il numero di suddivisioni n possono essere modificati tramite i cursori posti in alto a sinistra.

Il valore “vero” dell’area e quello delle approssimazioni sono mostrati in basso a sinistra.

Il valore esatto dell’area può essere calcolato tramite la primitiva Y=F(x) della funzione f(x) dove F'\left(x \right) =f\left( x \right).

Infatti, utilizzando per la funzione Y = F\left( x \right) la definizione di differenziale \Delta Y = F'\left( x \right)\Delta x, si può dimostrare che

    \[ \sum{f\left( x \right) }\Delta x=\sum{F'\left( x \right) }\Delta x=\sum{\Delta Y =F\left(b \right)-F\left(a \right) }\]

Quindi, quando \Delta x \to 0,

    \[ \sum{f\left( x \right) }\Delta x \to \int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx }=F\left(b \right) -F\left( a \right)\]

Contrassegnando la casella di controllo “Show primitive function” si può visualizzare la funzione primitiva e verificare come il valore dell’area corrisponda alla differenza F\left(b \right)-F\left(a \right).
La primitiva è definita a meno di una costante additiva C (modificabile tramite cursore quando l’opzione “Show primitive function” è attivata).
Comunque il valore di F\left(b \right)-F\left(a \right), ovvero il valore dell’area, rimane immutato con il variare della costante C.

Nella simulazione sono già predefinite due funzioni alternative f_1(x) e f_2(x).
Si può passare dalla prima alla seconda tramite la casella di controllo Alternative function f_2(x).
La funzione primaria f_1(x) può essere modificata nella barra di input (in basso) inserendo una nuova definizione (ad esempio f(x) =x^3-cos(x)).

Il pulsante nell’angolo in alto a destra può essere utilizzato per ripristinare i settaggi predefiniti della simulazione.

Crediti: Christopher Stover. Questa simulazione è stata costruita con affinamenti e modifiche apportati al file originale “Rectangular and Trapezoidal Integral Approximations” (http://personal.bgsu.edu/~stoverc/Geogebra/geogebra4.html)

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