worlds of math & physicsNota dell’autore della dimostrazione (Ruth Dover):
Trascina i punti per cambiare il grafico della funzione polinomiale e osserva le corrispondenti variazioni della sua derivata prima.
Cerca di posizionare i punti mobili in modo che il grafico della funzione e della sua derivata prima siano entrambi visualizzabili nella finestra data.
Comprensione
Il grafico della derivata prima è strettamente collegato al grafico della funzione.
Per capirlo meglio prova a rispondere alle seguenti domande:
- quando la derivata è positiva la funzione è…
- quando la funzione è decrescente la sua derivata è…
- quando la derivata interseca l’asse x la funzione…
- quando la funzione interseca l’asse x la derivata…
- quando la funzione ha un massimo o un minimo relativa la derivata…
Note
In questa dimostrazione la funzione è una funzione polinomiale passante per 5 punti mobili.
È noto che per determinare univocamente l’equazione di una parabola (funzione polinomiale di 2° grado del tipo 
) è necessario assegnare le coordinate di 3 dei suoi punti.
Infatti, dato che la condizione di passaggio per ogni singolo punto determina una equazione nei parametri incogniti 
e 
, sono necessarie 3 equazioni per determinare i valori dei 3 parametri.
Questo ragionamento ci fa capire che serviranno 4 punti per determinare l’equazione di una funzione polinomiale di 3° grado e 5 punti per determinare l’equazione di una funzione polinomiale di 4° grado.
Quest’ultima infatti ha la forma generale 
, e, per determinare i valori dei suoi 5 parametri sono necessarie 5 equazioni (ovvero 5 condizioni di passaggio per 5 diversi punti).
Quindi la funzione polinomiale rappresentata dalla linea blu nella simulazione, definita posizionando 5 punti mobili, è una funzione polinomiale di 4° (quartica) di equazione e la sua derivata prima (linea nera) è una funzione polinomiale di 3° grado (parabola cubica).