Onde stazionarie nel modello atomico di Bohr

Introduzione

Lo scopo di questa dimostrazione è quello di fornire una comprensione intuitiva sul modello atomico di Bohr e di mostrare simbolicamente e visivamente come un’onda, seguendo un percorso chiuso circolare, può essere considerata ferma e perdere quindi ogni caratteristica di movimento. Un’onda di questo tipo viene chiamata onda stazionaria.
Questo requisito (onda stazionaria) conduce alla condizione di quantizzazione per i raggi orbitali consentiti nel modello atomico di Bohr.
Un onda stazionaria (n intero alla dimostrazione) interferisce costruttivamente con sé stessa e non mostra alcun movimento apparente (quindi non c’è accelerazione, nessuna radiazione EM e nessuna perdita di energia).
Al contrario, se l’onda non è un’onda stazionaria (n non intero nella dimostrazione) c’è interferenza distruttiva e movimento (quindi c’è accelerazione, radiazione, perdita di energia e nessuna possibilità di ottenere un’orbita stabile).

Video dimostrativo

Dimostrazione con Geogebra (Marzo 2018)


Geogebra Risorse: https://www.geogebra.org/m/gu4prx7q

Dimostrazione CDF


Come utilizzare le dimostrazioni CDF
scarica 2DBWebBohrAtom_Sim.cdf
scarica 2DBWebBohrAtom_Sim.nb (Mathematica notebook)

 

Uso dei controlli
I comandi principali sono il cursore temporale (time) e il cursore n (number of waves in the circle o numero di lunghezze d’onda lungo la circonferenza).
Per quanto riguarda il tempo ci sono due possibili modalità: tempo finito e tempo infinito (∞ time). Nella prima modalità è possibile spostare manualmente il cursore. Per effettuare una  regolazione più fine del movimento dell’onda si può premere il tasto Alt o Ctrl + Alt o Ctrl + Maiusc + Alt mentre si sposta il cursore del tempo. In alternativa, è possibile avviare o arrestare l’animazione con i tasti  di controllo automatico dell’animazione. In questo caso il ciclo riprende dopo aver raggiunto il valore del tempo massimo (max time). Questo valore di tempo massimo può essere modificato mediante il cursore Finite time duration che opera su multipli interi di 12 \pi (sei cicli completi). La seconda modalità (tempo infinito) può essere avviata premendo il pulsante Start (∞ time) posizionato sotto al cursore di scorrimento del tempo. In questa modalità il tempo andrà avanti per sempre e non c’è più possibilità di spostare manualmente il cursore di scorrimento temporale. È comunque possibile ripristinare la simulazione in modalità tempo finito premendo il pulsante reset. In questo caso l’animazione si ferma e il tempo sarà ripristinato al suo valore iniziale. In entrambe le modalità è possibile modificare interattivamente il valore n. C’è anche un’opzione per modificare il valore di n all’intero più vicino (Set n to …) per trasformare la corrispondente onda nella più vicina un’onda stabile ovvero stazionaria. È inoltre possibile modificare l’ampiezza dell’onda (wave amplitude) e la velocità dell’animazione (animation rate).


Il modello atomico di Bohr

Il problema e la soluzione
Secondo il modello di Rutherford (modello planetario) l’elettrone orbita attorno al nucleo come un pianeta intorno al sole.
Il problema di questo modello risiede nel fatto che una carica accelerata emette onde elettromagnetiche e, così facendo, perde energia.
In conseguenza di questa perdita di energia l’elettrone dovrebbe inevitabilmente e rapidamente collassare nel nucleo.
Per risolvere questo problema, il modello di Bohr  (con l’apporto delle intuizioni di De Broglie) introdusse il concetto di onda-particella: un elettrone si comporta sia come una particella che come un’onda e sono ammesse solo particolari orbite discrete.
Ma in che modo questa coraggiosa e stravagante ipotesi permise di risolvere il problema insito nel modello di Rutherford?
Sia che l’elettrone sia un’onda (caratterizzato da una certa lunghezza d’onda), sia che esso sia una particella (con una sua determinata posizione e velocità) o sia esso una combinazione di entrambe le cose, insomma, sia quel che sia, questo non modifica il fatto che l’elettrone debba avere una certa energia, e un moto in grado di controbilanciare la forza elettrica attrattiva. Anche se visto come un’onda, l’elettrone dovrebbe orbitare attorno al protone ed avere una accelerazione, e ciò non può portare a un’orbita stabile. Quindi deve avere energia ma essere fermo… qualcosa di simile a un’onda (ha energia), che però non abbia alcun movimento…

… pensandoci bene, c’è una possibile soluzione …

Un onda stazionaria!

E ‘un’onda, e quindi ha energia, eppure non possiede alcun movimento apparente.
Questa è l’unica risposta possibile, questa è la la strada da percorrere.
Un altro modo per spiegare lo stesso concetto di base (forse fisicamente più corretto, ma più difficile da presentare visivamente) è che un’onda non stazionaria, alla lunga, interferisce distruttivamente con sé stessa.
Al contrario, un onda stazionaria interferisce sempre costruttivamente con sé stessa e questo fatto la fa esistere come una entità fisica reale e concreta.
Ma come fa un elettrone a sapere come e dove deve muoversi (come onda stazionaria o come onda non stazionaria) attorno nucleo?
Seguendo un modo di ragionare tipico del fisico Feynman si potrebbe pensare che in realtà l’elettrone segua tutte le possibili modalità e tutti i possibili percorsi e le possibili orbite. Ma lungo percorsi che determinano una interferenza distruttiva non c’è alcuna vera onda risultante (dato che tutte le possibilità si annullano tra di loro) e quindi non resta alcuna “reale” traccia della presenza di un elettrone, nessuna entità fisica e nessuna possibile orbita. Solo la flebile ombra di una ipotetica possibilità teorica che non può però emergere nella sfera concreta della realtà fisica, oggettiva e misurabile.

Cenni storici: i contributi di Bohr e De Broglie

Niels Bohr ha elaborato il suo modello atomico negli anni 1911-1913.
In quegli anni ha scoperto la condizione di quantizzazione del momento angolare solo perché ciò era necessario per spiegare i dati sperimentali (e per rendere conto della formula di Balmer delle righe spettrali).
Per ricavare le formule che dovevano essere alla base della quantizzazione dei livelli orbitali ha inoltre seguito, con grande arguzia, ingegnosi ragionamenti sul controllo dimensionale delle grandezze coinvolte,
Ma egli stesso era consapevole che il suo modello non spiegava nulla.
Fu solo nel 1924 che Louis De Broglie raggiunse una percezione più profonda e più ampia di ciò che stava dietro alla condizione di quantizzazione di Bohr del momento angolare: la natura ondulatoria dell’elettrone in uno stato orbitale stabile e la condizione di onda stazionaria.
La condizione di onda stazionaria fornisce una elegante e profonda interpretazione della formula di Bohr della quantizzazione del momento angolare dell’elettrone (che, quando fu introdotta da Bohr, era funzionale ma non dedotta da principi più generali).
Con il contributo di De Broglie il modello di Bohr divenne più significativo: un rivoluzionario punto di partenza verso un nuovo paradigma e verso una migliore comprensione dei principi fondamentali della prima teoria della meccanica quantistica.

Note sulla dimostrazione
In questa dimostrazione il modello di Bohr è applicato a un singolo elettrone orbitante attorno ad un singolo protone (atomo di idrogeno).
Il numero n (numero di lunghezze d’onda in un’orbita circolare completa) è posto in relazione con i possibili raggi orbitali e con i possibili livelli di energia.
Gli stati stabili sono solo quelli associati a un valore intero di n.
La condizione di onda stazionaria è \lambda n=2 \pi r (con n intero).
In questo modello le principali formule per i possibili raggi orbitali (r_n), le velocità orbitali (v_n), i periodi orbitali (T_n) e i livelli di energia (E_n) sono:

    \[r_n=\frac{n^2 \left(h^2 \epsilon _0\right)}{\pi e^2 m_e}; \ \ \ \ \ v_n=\frac{e^2}{n \left(2 h \epsilon _0\right)}; \ \ \ \ \ T_n=\frac{n^3 \left(4 h^3 \epsilon _0^2\right)}{e^4 m_e}; \ \ \ \ \ E_n=-\frac{e^4 m_e}{n^2 \left(8 h^2 \epsilon _0^2\right)};\]

L’unità di tempo utilizzata nella dimostrazione (nel cursore Time) è una unità simbolica,  ma comunque proporzionale al tempo fisico \tau. Per comodità qui t rappresenta semplicemente l’angolo percorso dal fronte d’onda (t=\alpha (\tau)).
Con questa scelta dell’unità temporale il periodo orbitale (T) è  2\pi .
La formula per convertire questa unità di tempo (t) in quella reale (\tau) è:

    \[\tau =\frac{n^3 t \left(4 h^3 \epsilon _0^2\right)}{(2 \pi ) \left(e^4 m_e\right)}\]

Modificando nella dimostrazione il valore di n, anche il raggio orbitale dovrebbe cambiare di conseguenza.
Questa dipendenza tra n e r non è visualizzata nella simulazione perché non rilevante rispetto allo scopo della dimostrazione (c’è comunque un cambiamento qualitativo nella dimensione del disco blu, che rappresenta simbolicamente il nucleo, per evocare un cambiamento di scala).
Nella simulazione l’onda è tracciata solo per un periodo di tempo limitato (3 periodi) e svanisce con il tempo durante questo intervallo temporale. Questo è solo un artificio per evidenziare l’ipotetico movimento dell’onda in caso di onda non stazionaria.
Un onda non stazionaria (non fisicamente possibile) associata a un valore di n non intero, sembra muoversi con una velocità che è diversa dalla velocità del fronte d’onda.
Questo moto è tanto più lento quanto più n avvicina un numero intero e quanto più n assume valori maggiori.
Si può dimostrare che il valore assoluto della velocità dell’onda v_w (rispetto della velocità del fronte d’onda v) è v_w=\frac{v \left| \text{Round}[n]-n\right| }{\text{Round}[n]}.
I suoi valori massimi relativi si verificano quando n=k+\frac{1}{2} con k=1,2,3,\text{...} e ci sono discontinuità intorno a questi particolari valori.
La velocità massima dell’onda si verifica per n=1,5 e in questo caso è v_w=\frac{v}{2}.
Forse c’è qualche collegamento tra questa relazione e la relazione tra la velocità di fase e la  velocità di gruppo definite dalla meccanica ondulatoria, ma questa supposizione necessiterebbe di un ulteriore approfondimento.

Alcuni link utili:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Bohr_Atom/Bohr_Atom.html
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Bohr_to_Waves/Bohr_to_Waves.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_model
http://it.wikipedia.org/wiki/Modello_atomico_di_Bohr

Autore: Luca MoroniGennaio 2014 – Marzo 2018