I segreti dell’ellisse: dimostrazione geometrica dell’equivalenza delle sue due definizioni

Ogni volta che cerco di approfondire la teoria della gravitazione di Newton mi imbatto, prima o poi, nell’ellisse e nelle sue proprietà geometriche.
Dopo diversi anni sono sempre più convinto che raggiungere una migliore comprensione dell’ellisse e delle sue numerose proprietà geometriche, anche le più sottili e nascoste, sia un passaggio fondamentale per capire più a fondo le teorie fisiche e matematiche in cui essa compare.

La definizione geometrica dell’ellisse può essere formulata tramite due definizioni alternative ma equivalenti:

A) L’ellisse è il luogo dei punti (P) del piano per i quali si mantiene costante la somma delle distanze di questi punti da due punti dati, chiamati fuochi (F_1 e F_2). In linguaggio matematico vale quindi la relazione:

\overline {PF_1} + \overline {PF_2} = \text{costante} = 2a (dove a è il semiasse maggiore dell’ellisse).

B) L’ellisse è il luogo dei punti (P) del piano per per cui si mantiene costante il rapporto tra la distanza di P da un punto dato fissato (chiamato fuoco)  F_1 e la distanza di P da una retta data detta (chiamata direttrice) d. In linguaggio matematico vale quindi la relazione:

\overline{PF_1}/ \overline{PH}=\text{costante}=e (dove e è l’eccentricità dell’ellisse ed 0<e<1).

L’equivalenza delle due definizioni può essere dimostrata in modo molto semplice ed elegante utilizzando, in geometria solida, le sfere di Dandelin e sfruttando la definizione di ellisse come sezione conica.

D’altra parte, dato che l’ellisse è una curva piana mi sono spesso chiesto se fosse possibile dimostrare l’equivalenza di queste due definizioni usando la geometria piana, senza dover ricorrere a una terza dimensione.

Un altra possibile strada è quella della geometria analitica, che richiede di collocare gli elementi che definiscono l’ellisse (fuochi, direttrice) in un sistema di assi cartesiani.

Ho cercato a lungo una dimostrazione geometrica che utilizzasse la geometria piana e i metodi classici della geometria euclidea.

Ma, dato che non ho mai trovato una tale dimostrazione in rete o nei testi di riferimento , qualche anno fa, nel lontano 2008, ho cercato di costruirne una da me.

Quasi per caso ho riscoperto in questi giorni (ottobre 2016), quella dimostrazione di diversi anni fa e l’ho trovata interessante e potenzialmente ricca di spunti per possibili altre investigazioni geometriche, anche se necessitante di qualche affinamento.

Nel presente articolo è riportata la dimostrazione che ho individuato allora, essenzialmente immutata nei suoi aspetti essenziali, ma alla quale ho aggiunto qualche dettaglio in più.
In essa sono sfruttate diverse relazioni e proprietà tratte dalla pura geometria piana e qualche intuizione personale.

La prima parte I) riguarda la dimostrazione che la definizione A) implica la definizione B). La seconda parte II) (in parte solo abbozzata in quanto si basa in gran parte sui passaggi della prima parte, ripercorsi in ordine inverso)  è volta a dimostrare che la definizione B) implica la definizione A).
Nella terza parte III), ho aggiunto una costruzione geometrica dell’ellisse (rispecchiante la definizione B)  trovata in un testo classico (1895) sulle sezioni coniche.

equivalenza delle due definizioni dell'ellisse

fig.1: equivalenza delle due definizioni dell’ellisse: definizione “fuoco-fuoco” e “fuoco-direttrice”

I) Prima parte: A) \rightarrow B)

Data una ellisse definita come luogo dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F_1 e F_2, allora, per ogni punto P appartenente all’ellisse deve essere  \overline{PF_1}=e\cdot \overline{PH_1}, dove \overline{PH_1} è la distanza di P da una opportuna retta (chiamata direttrice) perpendicolare alla retta congiungente F_1 e F_2.

Dimostrazione

Siano

    \[\overline{F_1F_2}=2c; \; \; \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a; \; \; c/a=e; \; \; \overline{PF_1}=f_1; \; \; \overline{PF_2}=f_2\]

Per prima cosa si consideri il triangolo F_1F_2P e si costruisca la circonferenza circoscritta a tale triangolo.

L’asse del segmento F_1F_2 interseca la circonferenza (nell’arco \stackrel {\frown} {F_1F_2} che non include P) nel punto V (il quadrilatero VF_1F_2P è quindi un quadrilatero ciclico).

Sia N l’intersezione della retta PV con la retta passante per F_1 e F_2. Il punto N suddivide il segmento F_1F_2 in due parti le cui lunghezze sono  \overline{NF_1}=m_1 e \overline{NF_2}=m_2.

Siano poi H_1 e H_2 i punti in cui la retta passante per P parallela a F_1F_2 interseca le rette VF_1 e VF_2 e siano \overline{PH_1}=d_1; \; \; \overline{PH_2}=d_2

Dato che \overline{F_1V}=\overline{F_2V}, per le proprietà delle corde di una circonferenza, segue che gli angoli V\widehat{P}F_1 e V\widehat{P}F_2 sono congruenti, e che PV è la bisettrice dell’angolo F_1\widehat{P}F_2.  Possiamo anche dire che F_1\widehat{P}N=N\widehat{P}F_2=F_1\widehat{F_2}V=\alpha

Applicando il teorema della bisettrice al triangolo F_1PF_2 si ottiene la proporzione

    \[f_1:m_1=f_2:m_2\]

Da questa proporzione si possono poi ricavare le seguenti relazioni:

    \[(f_1+f_2):f_1=(m_1+m_2):m_1 \; \; \rightarrow \; \; 2a:f_1=2c:m_1 \; \; \rightarrow \; \; m_1/f_1=c/a\]

e

    \[(f_1+f_2):f_2=(m_1+m_2):m_2 \; \; \rightarrow \; \; 2a:f_2=2c:m_2 \; \; \rightarrow \; \; m_2/f_2=c/a\]

Quindi i triangoli H_1PF_1 e F_1PN sono simili (avendo lo stesso angolo \alpha e due angoli alterni interni).
Analogamente sono simili anche i triangoli H_2PF_2 e F_2PN.

Quindi si possono scrivere le proporzioni

    \[m_1:f_1=f_1:d_1=c/a\]

e

    \[m_1:f_1=f_1:d_1=c/a\]

da cui segue che

    \[f_1:d_1=f_2:d_2=c/a \; \rightarrow \; f_1=(c/a) \cdot d_1; \; \; \;  \;  \;  f_2=(c/a) \cdot d_2\]

ovvero

    \[\overline{PF_1}=e\cdot \overline{PH_1}; \; \;  \;  \;  \; \overline{PF_2}=e\cdot \overline{PH_2}\]

Per completare la dimostrazione è necessario mostrare che i punti H_1 e H_2 si trovano su due rette parallele ovvero che la distanza tra questi due punti sia indipendente dalla scelta del punto P appartenente all’ellisse.
Queste due rette sono le due possibili per la direttrice, una alla destra e una alla sinistra del segmento formato dai due fuochi.

Dapprima si può osservare che il segmento H_1H_2 è, per costruzione, parallelo all’asse focale F_1F_2 e che i due punti H_1 e H_2 sono simmetrici rispetto all’asse del segmento F_1F_2.

In aggiunta, si può verificare che la distanza \overline{H_1H_2}=d_1+d_2 è costante.
In fatti la proporzione f_1:f_2=d_1:d_2 può essere riscritta come

    \[(d_1+d_2):d_2=(f_1+f_2):f_2\]

e dato che f_1+f_2=2a, d_2/f_2=a/c e che d_1+d_2=\overline{H_1H_2} segue che

    \[(d_1+d_2)=2a \cdot d_2/f_2 \rightarrow (d_1+d_2)=2a \cdot (a/c)\rightarrow\overline{H_1H_2}=2a \cdot (a/c)\]

Pertanto la distanza \overline{H_1H_2} non dipende dalla scelta del punto P sull’ellisse e la distanza della direttrice dall’asse verticale dell’ellisse è a^2/c=a/e.

Questo completa la dimostrazione che \overline{PF_1}=e\cdot \overline{PH_1} (o \overline{PF_2}=e\cdot \overline{PH_2} ) e che \overline{PH_1} (o \overline{PH_2}) è la distanza di P da una opportuna retta fissa (direttrice) che è perpendicolare alla retta passante per i due fuochi F_1 e F_2 come si voleva appurare1.

1 Il fatto che la direttrice (luogo in cui si trovano i punti  H_1) sia una retta perpendicolare all’asse focale segue dal fatto che la seconda direttrice (luogo dei punti  H_2) è per costruzione simmetrica alla prima rispetto all’asse del segmento  F_1F_2 e dal fatto che le distanze  \overline{H_1H_2} sono costanti. Solo una retta perpendicolare all’asse focale soddisfa entrambe le condizioni.

II) Seconda parte: B) \rightarrow A)

Dato il luogo dei punti (P) del piano per per cui il rapporto tra le  distanze da un punto dato F_1 (fuoco) e da una retta data d (direttrice) mantiene un valore costante e con 0<e<1, allora

II.1) Esiste un secondo fuoco F_2 e una seconda direttrice d_2 per i quali vale la stessa relazione tra le loro distanze con P, ovvero \overline{PF_2}/\overline{Pd_2}=e=\text{costante}.

II.2) Per ogni punto P dell’ellisse la somma delle distanze di P dai due fuochi F_1 e F_2 si mantiene costante.

Dimostrazione di II.1

In pratica, partendo dal fuoco F_1, dalla direttrice d_1 e da un punto P del luogo,  chiamando H_1 la proiezione di P sulla direttrice si costruisce il PF_1H_1e il triangolo simile PF_1N in cui il lato F_1N è parallelo alla retta PH_1 e avente l’angolo F_1 \overhat{P} N congruente all’angolo F_1 \overhat{H_1}P del primo triangolo. Si chiami V il punto di intersezione tra le rette PN e H_1F_1. Il secondo fuoco F_2, sulla retta FN, è tale che la retta PV sia bisettrice dell’angolo F_2\widehat{P}F_1.

La retta VF_2 interseca la retta H_1P nel punto H_2 che definisce la posizione della seconda direttrice d_2 (ovvero la retta passante per H_2 parallela a d_1).

ellipse-construction-part2

fig. 2: costruzione dell’ellisse dalla definizione “fuoco-direttrice” (costruzione parziale)

Con la costruzione realizzata fino a questo punto è possibile mostrare che il triangolo VF_1F_2 è isoscele.

Infatti i triangoli H_1PF_1 e PF_1N sono simili (per costruzione).
I triangoli PF_2N e F_1VN sono anch’essi simili, dato che hanno due angoli congruenti: F_1 \widehat NV = F_2 \widehat NP (angoli opposti al vertice) e che N \widehat F_1V=N \widehat P F_2 (N \widehat F_1 V=P \widehat H_1F_1=N \widehat P F_2).
Quindi vale la proporzione \overline{PN}:m_2=m_1:\overline{NV}.

Anhe i triangoli PF_1N e NF_2V sono simili, per il secondo criterio di similitudine (o, con terminologia inglese, per il SAS similarity criterion), dato che essi hanno un angolo congruente, P \widehat NF_1=F_2 \widehat NV (angoli opposti al vertice) e dato che per i due lati che formano tali angoli vale la proporzione precedentemente ricavata \overline{PN}:m_2=m_1:\overline{NV} (o anche \overline{PN}:m_1=m_2:\overline{NV}).

Quindi V \widehat F_1N=F_1 \widehat P N=F_1 \widehat P N=N \widehat F_2V e questo completa la dimostrazione che il triangolo F_1VF_2 è isoscele.
Ne consegue che \overline{F_1V}=\overline{F_2V} e che il punto V si trova sull’asse del segmento F_1F_2.
Inoltre si può facilmente mostrare che F_1 \widehat PF_2+F_1 \widehat VF_2=F_1 \widehat PF_2+F_1 \widehat V F_2=180^\circ e questo implica il fatto che il quadrilatero PF_1VF_2 è un quadrilatero ciclico e che il punto V appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo F_1PF_2.
Con la costruzione del punto H_2 si può ricavare che anche i triangoli NPF_2 e PF_2H_2 sono simili (per la congruenza degli angoli alterni interni P \widehat F_2 N=F_2 \widehat P H_2 e per la congruenza degli angoli N \widehat P F_2=P \widehat H_2 F_2 che deriva dalla costruzione effettuata.

Nella figura sottostante (fig. 3) sono riportate le relazioni geometriche fin qui ricavate e gli angoli tra loro congruenti (aventi lo stesso simbolo). Sono inoltre evidenziate le similitudini dei triangoli tr1,\;tr1',\;tr1'', quelle dei triangoli tr2,\;tr2',\;tr2''.

Ellipse construction from focus-directrix

fig. 3: relazioni geometriche nella costruzione dell’ellisse dalla definizione fuoco-direttrice

Per il teorema della bisettrice applicato al triangolo PF_1F_2, dove l’angolo \widehat P è suddiviso nei due angoli congruenti F_1 \widehat{P} N and N \widehat{P} F_2, vale la proporzione

(a)   \[f_1:m_1=f_2:m_2 \]

Per la similitudine dei triangoli H_1PF_1 e PF_1N è

(b)   \[m_1:f_1=f_1:h_1 \]

Per la similitudine dei triangoli H_2PF_2 e PF_2N è

(c)   \[m_2:f_2=f_2:h_2 \]

Unendo le proporzioni (a) e (b) con la proporzione (c) è

    \[f_1:h_1=f_2:h_2\]

ovvero

    \[\overline{PF_1}/\overline{PH_1}= \overline{PF_2}/\overline{PH_2}=e\]

Dimostrazione di II.2

Dato che

    \[f_1:d_1=f_2:d_2=e\]

segue che

    \[f_1=e\cdot d_1\]

and

    \[f_2=e\cdot d_2\]

e sommando i termini delle due eguaglianze si ricava

    \[f_1+f_2=e \cdot (d_1+d_2)=e \cdot \overline{H_1H_2}\]

Pertanto si può affermare che la somma delle distanze di P dai due fuochi F_1 e F_2 si mantiene costante.
Q.E.D.

III) Costruzione geometrica dell’ellisse utilizzando la definizione B)

Per arricchire ulteriormente le relazioni geometriche insite nella definizione B) dell’ellisse riporto di seguito una delle possibili costruzioni geometriche (realizzabile con riga e compasso) dei punti P che costituiscono l’ellisse.
La costruzione è tratta dal testo classico
W. H. Besant – Conic Sections Treated Geometrically – 1895 – capitolo 3
(si veda la sezione di riferimenti in fondo all’articolo per un collegamento al testo completo scaricabile gratuitamente).
Rispetto alla versione originale ho modificato i nomi di punti e rette e ho fornito qualche maggior dettaglio per chiarire alcuni passaggi.

La costruzione si sviluppa a partire da una retta data d_1 (la direttrice) , da un punto dato F_1 (un fuoco). Un generico punto P dell’ellisse dovrà essere tale da soddisfare la relazione

(d)   \[\overline{PF_1}/ \overline{PH_1}=\text{costante}=e \]

con 0<e<1 e dove H_1 è la proiezione di P sulla retta d_1.

costruzione geometrica dell'ellisse

fig. 4: costruzione geometrica dell’ellisse tratta dal testo di W. H. Besant

Costruzione
Sia F_1 il fuoco, d_1 la direttrice, a la retta perpendicolare a d_1 passante per F_1 e K_1 il punto di intersezione tra le rette a e d_1.

Sia poi A_1 un punto sul segmento F_1K_1 che lo suddivida in due parti il cui rapporto sia \overline{F_1A_1}/\overline{A_1K_1}=e.

Il punto A_1 è uno dei punti dell’ellisse, dato che rispetta la condizione (d) e, in particolare, è uno dei suoi vertici.
Sia poi A_2 un altro punto di a tale che valga la proporzione \overline{F_1A_2}:\overline{K_1A_2}=\overline{F_1A_1}:\overline{K_1A_1}. Anche A_2 è quindi un punto dell’ellisse e un altro dei suoi vertici,

Si scelga un qualsiasi punto E sulla direttrice d_1, e si tracci la retta u passante per E e F_1. Si tracci poi, da F_1, una seconda retta s (diversa da a) tale da formare con la retta EF_1 lo stesso angolo che EF_1 forma con la retta a.
Sia poi r la retta passante per E e A_1 e si chiami P il punto di intersezione tra le rette s e r.
Si conduca da P la retta h parallela ad a e si chiami H_1 la sua intersezione con la direttrice d_1 e L la sua intersezione con la retta u.
Dato che, per costruzione, è L\widehat{F_1}A_2=L\widehat{F_1}P e dato che L\widehat{F_1}A_2=P\widehat{L}F_1 (angoli alterni interni) ne segue che L\widehat{F_1}P=P\widehat{L}F_1 e che il triangolo PLF_1 è isoscele.
Quindi è \overline{PL}=\overline{PF_1}.
Considerando poi che h e a sono due rette parallele intercettate dalle rette r, u e d_1, tutte passanti per il punto E, per il teorema di Talete si può dire che

    \[\overline{A_1F_1}:\overline{A_1K_1}=\overline{PL}:\overline{PH_1}=e\]

e utilizzando la congruenza tra \overline{PL} e \overline{PF_1} è anche

    \[\overline{A_1F_1}:\overline{A_1K_1}=\overline{PF_1}:\overline{PH_1}=e\]

Pertanto il punto P appartiene al luogo dei punti per i quali è \overline{PF_1}:\overline{PH_1}=e=\text{costante}.
Se si modifica la scelta del punto E su d_1 si ottiene un diverso punto P, ma comunque, valendo anche per questo la relazione (d), anch’esso appartiene alla stessa ellisse.

Riferimenti


Pagine in italiano:

https://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse
https://it.wikipedia.org/wiki/Sfere_di_Dandelin
https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_conica

Pagine in inglese:

https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse
https://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres
https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
https://www.physicsforums.com/threads/ellipse-geometric-equivalence-of-two-definitions.247417/
W. H. Besant – Conic Sections Treated Geometrically (1895) – (free ebook in Project Gutenberg)

Ultima modifica: 11 ottobre 2016