Propagazione delle onde nello spazio e nel tempo

Come utilizzare le dimostrazioni CDF
scarica WaveMotion.cdf
scarica WaveMotion.nb (Mathematica notebook)

Nota sulla dimostrazione CDF

Questa dimostrazione, creata con il programma Wolfram Mathematica, è relativa alla propagazione di un’onda in un mezzo unidimensionale (ad esempio una corda).
La dimostrazione può essere utilizzata interattivamente tramite il programma gratuito CDF Player (si veda la pagina “Come utilizzare le dimostrazioni CDF per informazioni sull’installazione del CDF Player).

Propagazione delle onde

Non è facile comprendere gli aspetti matematici del moto di un’onda.
Il fatto è che un’onda è una perturbazione (in un mezzo) che cambia nello spazio e nel tempo.
Quindi, anche nel più semplice dei casi (ad esempio quello di un’onda che si propaga in un mezzo a 1 dimensione, come una corda) ci sono almeno 3 variabili coinvolte: il grado di perturbazione del mezzo, la posizione e il tempo.

Questo significa che la descrizione matematica di un’onda (chiamata equazione dell’onda o funzione d’onda) deve avere la forma generale:

    \[y = \psi \left( {x,t} \right)\]

dove y è la perturbazione (dislocazione rispetto alla posizione di equilibrio), x è la posizione e t è il tempo. Nella funzione saranno inoltre presenti alcuni parametri costanti (ad esempio la lunghezza d’onda \lambda e il periodo di oscillazione T) che caratterizzano l’onda.
Una particolare funzione d’onda (molto importante in fisica) è quella di un’onda armonica. Quest’ultima può essere scritta nella forma:

    \[y=A \cos\left( {2\pi \left( {\frac{x}{\lambda } - \frac{t}{T}} \right)}+ {\varphi _0} \right)\]

dove {\varphi _0} è la fase iniziale e A è l’ampiezza dell’onda.
Gli altri parametri dell’onda possono essere derivati da \lambda e T:
f = \frac{1}{T}  (frequenza)
k = \frac{{2\pi }}{\lambda }  (numero d’onda angolare)
\omega  = \frac{{2\pi }}{T}  (pulsazione o frequenza angolare)
v = \frac{\lambda }{T}  (velocità di fase)

Lo scopo di questa simulazione è quello di comprendere meglio le relazioni tra le variabili della funzione d’onda (x e t), i parametri dell’onda (\lambda e T) e le corrispondenti proprietà dell’onda che si propaga.

Utilizzo della simulazione

Tramite il pulsante play () nella sezione time animation si può avviare l’evoluzione temporale e osservare cosa succede modificando i parametri dell’onda \lambda e T.

Il primo grafico rappresenta Il movimento dell’onda nella dimensione spaziale.

Il secondo grafico rappresenta la vista temporale in un punto predefinito (x_0), ovvero l’andamento temporale dell’oscillazione che avviene in quel solo punto. È possibile cambiare questa posizione agendo sullo slider x_0.

Il terzo grafico rappresenta la vista spaziale dell’onda catturata in particolari istanti di tempo, ovvero la “fotografia” dell’onda presa in quei particolari istanti (ogni 7 secondi), La fotografia viene scattata quando c’è un flash nel primo grafico e il profilo dell’onda in questo terzo grafico rimane congelato fino al successivo scatto.

Il quarto grafico rappresenta la vista tridimensionale (3D) ovvero la rappresentazione matematica completa della funzione d’onda in tre dimensioni (perturbazione, dimensione spaziale e tempo). Esso quindi combina la vista spaziale e temporale in un unico grafico.
In questo grafico è anche rappresentato il punto mobile che rappresenta lo stato della perturbazione nella posizione x_0 al passare del tempo.
La linea rossa è la traiettoria spazio-temporale del punto mobile e rappresenta l’evoluzione temporale della perturbazione nella posizione x_0.
È possibile cliccare e trascinare il mouse sull’area del grafico 3D per modificare il punto di visualizzazione.

Nella prima riga del pannello di controllo è possibile scegliere tra due diversi tipi di funzione d’onda, modificare la velocità dell’animazione (animation rate) e selezionare la casella di controllo per attivare la vista 3D (con questa vista abilitata l’evoluzione temporale della simulazione diventa molto più lenta e scattosa).

Per i più curiosi sulla forma matematica delle funzioni d’onda utilizzate nel selettore del tipo di funzione di questa simulazione (function type):

• Asymmetric wave (onda asimmetrica):

    \[y = \psi \left( {x,t} \right) = {\sin ^2}\left[ {{{\left( {\sqrt \pi  \left( { - \frac{x}{\lambda } + \frac{t}{T}} \right)\bmod \sqrt \pi  } \right)}^2}} \right]\]

Il quadrato dell’argomento della funzione seno (\sin) serve a rendere il profilo dell’onda asimmetrico rispetto al punto di metà lunghezza d’onda (o di metà periodo). Ma questa operazione renderebbe anche la funzione d’onda aperiodica.
L’applicazione dell’operatore modulo (mod \sqrt \pi) è quindi necessaria per riaggiustare le cose e ricreare una funzione periodica (con lunghezza d’onda e periodo costanti).
Il motivo alla base della creazione di questa particolare onda dal profilo asimmetrico è quello di evidenziare l’aspetto interessate della specularità dei profili spaziale e temporale dell’onda.
Harmonic wave (onda armonica):

    \[\[y = \psi \left( {x,t} \right) =  - \frac{1}{2}\cos \left[ {2\pi \left( { - \frac{x}{\lambda } + \frac{t}{T}} \right)} \right] + \frac{1}{2}\]

Il fattore \frac{1}{2} è utilizzato qui per far in modo che l’onda oscilli nell’intervallo \left[ {0,1} \right].
Il segno meno anteposto alla funzione coseno (\cos) è equivalente ad impostare una fase iniziale {\varphi _0} =  \pm \pi.
Questa scelta è motivata solamente da ragioni di opportunità per la resa grafica.

Nota: La selezione della casella di controllo “Show 3D graph” per visualizzare la vista 3D può rendere la simulazione molto più lenta e “scattosa” nel browser.
Questo non avviene (o avviene in misura molto minore) se si scarica il file della simulazione  WaveMotion.cdf sul PC e se lo si esegue poi tramite il programma gratuito CDF Player (si veda la pagina “Come utilizzare le dimostrazioni CDF per informazioni sull’installazione del CDF Player).