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In questa nota presentiamo la dimostrazione della famosa formula di Einstein partendo dalla definizione relativistica di quantità di moto: .
Per far ciò applicheremo lo stesso procedimento utilizzato per arrivare alla definizione di energia cinetica nella dinamica classica.
Consideriamo un corpo avente massa che, partendo da fermo, raggiunge una certa velocità . L’energia acquisita dal corpo è definita come il lavoro fatto per far raggiungere al corpo la velocità finale .
dato che
Nella dinamica Newtoniana la quantità di moto è per cui, assumendo che la massa del corpo non cambi, è
Questa è la definizione di energia cinetica (kinetic energy – KE) acquisita dal corpo.
Nella relatività speciale dobbiamo però usare una diversa espressione per la quantità di moto:
dove
Si può osservare che, per preservare la precedente definizione di quantità di moto , è possibile definire una nuova quantità, chiamata massa relativistica diversa dalla massa a riposo e dire che la massa relativistica è la massa di un corpo avente velocità . Tale concetto di massa relativistica è comunque controverso e soggetto a possibili fraintendimenti.
Quindi l’integrale da calcolare con l’espressione relativistica della quantità di moto è
Procederemo al calcolo in due modi diversi: a) con una sostituzione, usando la funzione goniometrica seno per il rapporto e b) senza sostituzione, usando le usuali tecniche di integrazione e differenziazione .
a) La via “trigonometrica”
La via”trigonometrica” presentata nelle righe seguenti si presta a interessanti interpretazioni geometriche e rende il calcolo più semplice e veloce. È basata sulla semplice sostituzione:
da cui segue ;
e
Con queste nuove espressioni l’integrale diventa:
E l’integrazione è quasi immediata:
Tornando alle grandezze originarie abbiamo:
Quindi l’energia cinetica relativistica può essere pensata come la quantità di in eccesso rispetto alla quantità invariante che possiamo interpretare come energia a riposo.
Inoltre si può scrivere
e questa equazione porta alla celebre formula di Einstein se si definisce , l’energia totale, come somma di energia cinetica (l’energia collegata alla sola velocità acquisita) e energia a riposo (energia collegata alla sola massa a riposo, )
La figura seguente mostra le interessanti relazioni geometriche tra le principali grandezze coinvolte nel calcolo se si usa la sostituzione
In aggiunta, la figura mostra che l’importante relazione energia-quantità di moto
deriva dalla semplice applicazione del teorema di Pitagora al triangolo .
b) Integratione senza sostituzione
L’integrale
può essere calcolato anche senza utilizzare la sostituzione trigonometrica.
Iniziamo con il calcolo del termine differenziale :
Ora possiamo procedere con il calcolo dell’integrale
Alla fine abbiamo ottenuto, anche se in modo più faticoso, lo stesso risultato del calcolo con la sostituzione .
Ultima modifica: 2 giugno 2018